Opérateur linéaire compact - Math'φsics

Opérateur linéaire compact

Formulaire de report
Problème d'affichage Contenu de la note peu pertinent
Opérateur linéaire compact \(T\in L(E,F)\), avec \(E,F\) deux evn L'image de la boule unité par \(T\) est relativement compacte. $$\overline{T(B_E(0,1))}\text{ est compact.}$$
- on note \(L_C(E,F)\) l'ensemble des opérateurs linéaires compacts
- si \(T\) est compact, alors \(\operatorname{dim}(\ker(\operatorname{Id}-T))\lt +\infty\)
- si \(S,U\) sont continus et si \(T\) est compact, alors \(U\circ T\circ S\) est compact
- si \(E\) est un Espace de Banach, alors \(L_C(E,F)\) est un Fermé
Questions de cours

Montrer que si \(T\in L_C(F,G)\) et si \(S\in L(E,F)\), alors \(T\circ S\in L_C(E,G)\).

Par continuité de \(S\), l'image de la boule unité par \(S\) est comprise dans la boule centrée en \(0\) et de rayon \(\lVert S\rVert\).

On utilise la linéarité de \(T\) la faire permuter avec \(\lVert S\rVert\).

Et l'ensemble obtenu est d'adhérence compact par compacité de \(T\).

L'adhérence de \(T\circ S(B_E(0,1))\) est donc un fermé d'un compact dans un espace séparé, donc elle est compacte et \(T\circ S\) est compact.

Montrer que si \(T\in L_C(F,G)\) et si \(U\in L(G,H)\), alors \(T\circ U\in L_C(F,H)\).

L'image par \(U\) de \(\overline{T(B(0,1))}\) est un compact, en tant qu'image d'un compact par une fonction continue.

On utilise alors la continuité de \(U\) pour avoir une inclusion avec cet ensemble, ce qui fait que l'adhérence de l'image de la boule unité par \(U\circ T\) est compacte en tant que fermé d'un compact.

Démontrer \((i)\) :

On considère \(T\) dans l'adhérence de \(L_C(E,F)\), et \(T^\prime\) opérateur compact arbitrairement proche de \(T\).

On recouvre \(\overline{T^\prime(0,1)}\) par un nombre fini de boules de rayon \(\varepsilon\).

On a alors une inclusion avec \(T(x)\).

Cette inclusion est toujours valable en passant à l'adhérence.

D'où la précompacité, et donc la compacité de \(T\).
Rétroliens :